Metodologia dell'Albero Espanso CME | Osservatorio Banche Centrali

Cos'è il Metodo dell'Albero Espanso?

Il CME FedWatch Tool utilizza una struttura ad "albero espanso" per calcolare le probabilità delle decisioni sui tassi di interesse della Federal Reserve. Il metodo è detto "espanso" perché costruisce una struttura ramificata che cresce ad ogni successiva riunione del FOMC, mappando tutte le possibili sequenze di variazioni dei tassi.

Perché "Albero Espanso"?

Ogni riunione del FOMC presenta due esiti principali: la Fed modifica i tassi di 25 punti base (al rialzo o al ribasso), oppure i tassi restano invariati. Dopo una riunione esistono due possibili livelli di tasso. Dopo due riunioni esistono tre possibili livelli di tasso (ma quattro percorsi diversi per raggiungerli). Dopo tre riunioni esistono quattro possibili livelli di tasso, raggiunti attraverso otto percorsi diversi.

Questa crescita combinatoria — in cui ogni riunione raddoppia il numero di percorsi — crea la struttura ad "albero". La metodologia CME assegna probabilità a ogni ramo sulla base dei prezzi dei futures sui Federal Funds, poi percorre tutti i possibili cammini futuri per calcolare la probabilità dei diversi esiti sui tassi nelle riunioni successive.

Il metodo CME calcola la probabilità di ciascun percorso attraverso questo albero utilizzando i prezzi dei futures. È definito il "gold standard" perché è trasparente, sistematico e utilizzato in tutto il mondo.

Cosa Imparerete in Questa Pagina

Le 7 assunzioni chiave del CME
Passo dopo passo: come calcolare le probabilità
Un esempio reale dal settembre 2022
Come l'albero si espande su più riunioni
Dove il metodo funziona bene e dove presenta limitazioni

Il CME FedWatch Tool impiega un albero di probabilità binario espanso per estrarre le probabilità implicite di mercato delle decisioni del FOMC sui tassi di interesse dai prezzi dei futures a 30 giorni sui Federal Funds. Questa metodologia rappresenta l'approccio basato su derivati più ampiamente citato per estrarre le aspettative di politica monetaria.

Innovazione Centrale: Il framework dell'albero espanso affronta elegantemente la sfida di convertire informazioni continue sui prezzi dei futures in distribuzioni di probabilità discrete su più decisioni di politica sequenziali. Imponendo una struttura (ramificazione binaria ad ogni nodo) pur mantenendo flessibilità (adattativa ai prezzi di mercato), la metodologia bilancia trattabilità e reattività al mercato.

Fondamento Teorico: L'approccio si basa sul teorema fondamentale della valutazione delle attività finanziarie, che stabilisce l'esistenza di una misura di probabilità neutrale al rischio sotto la quale i prezzi dei futures sono uguali ai tassi spot attesi. Per i futures sui Federal Funds con tassi a breve termine determinati durante il periodo del contratto, ciò si semplifica in:

$$\text{Prezzo Futures}_t = 100 - E^{\mathbb{Q}}_t[\text{EFFR medio durante il mese del contratto}]$$ dove $\mathbb{Q}$ denota la misura neutrale al rischio

Struttura della Pagina

Questa pagina fornisce documentazione tecnica completa della metodologia dell'albero espanso CME:

Le Sette Assunzioni Fondamentali — Semplificazioni critiche che consentono un calcolo trattabile
Framework Matematico — Derivazione formale della procedura di estrazione delle probabilità
Protocollo di Calcolo — Implementazione algoritmica passo dopo passo
Esempio Pratico — Percorso completo delle probabilità FOMC del settembre 2022
Logica di Espansione dell'Albero — Regole di propagazione per le riunioni future
Limitazioni Metodologiche — Modalità di fallimento note e casi limite

Le Sette Assunzioni Fondamentali

Affinché il metodo CME funzioni, è necessario formulare alcune assunzioni semplificatrici. Non sono sempre perfettamente vere, ma nella maggior parte dei casi sono sufficientemente accurate da produrre buone previsioni.

Assunzione 1: Variazioni Discrete di 25 Punti Base

Significato: La Fed muove i tassi in incrementi di un quarto di punto percentuale (0,25%)

Verifica con la realtà: Di solito è vera! La Fed predilige le mosse da 25 pb. Tuttavia, in situazioni di emergenza (come nel 2022), a volte interviene con 50 pb o 75 pb.

Assunzione 2: L'EFFR Risponde in Modo Proporzionale

Significato: Quando la Fed aumenta il proprio obiettivo di 25 pb, il tasso effettivo sui Federal Funds (quello che effettivamente viene negoziato sul mercato) aumenta anch'esso di 25 pb

Verifica con la realtà: Molto vicina alla realtà nell'attuale sistema a riserve abbondanti

Assunzione 3: Limite Inferiore Zero

Significato: I tassi di interesse non possono scendere sotto zero

Verifica con la realtà: Vera per gli Stati Uniti. (Alcuni altri paesi, come quelli soggetti alla politica della BCE, hanno avuto tassi negativi, ma questa è un'altra storia.)

Assunzione 4: Esiti Binari ad Ogni Riunione

Significato: Ad ogni riunione della Fed, possono verificarsi solo due cose: quanto il mercato si aspetta, oppure un passo diverso (25 pb in su o in giù)

Verifica con la realtà: È una semplificazione. A volte il mercato è genuinamente incerto tra tre esiti.

Assunzione 5: Variazioni Solo alle Riunioni Programmate

Significato: La Fed modifica i tassi solo nelle 8 riunioni programmate all'anno, mai tra una riunione e l'altra

Verifica con la realtà: Di solito vera. Gli interventi straordinari tra riunioni sono rari (l'ultimo è avvenuto nel marzo 2020 durante il COVID)

Assunzione 6: Condizione di Continuità

Significato: Il tasso alla fine di un mese è uguale al tasso all'inizio del mese successivo

Verifica con la realtà: Vera! I tassi non variano improvvisamente da un mese all'altro.

Assunzione 7: Prezzaggio Neutrale al Rischio

Significato: I prezzi dei futures riflettono ciò che gli operatori si aspettano accada, non ciò che temono o sperano

Verifica con la realtà: Non del tutto! La ricerca mostra che i prezzi dei futures includono un "premio al rischio" — gli operatori pagano un po' di più come assicurazione. Ne parleremo più avanti.

La metodologia dell'albero espanso CME si fonda su sette assunzioni fondamentali che circoscrivono il problema dell'estrazione delle probabilità a una forma trattabile. Comprendere queste assunzioni è fondamentale per valutare quando la metodologia fornisce indicazioni affidabili e quando diventano necessari approcci alternativi.

Assunzione 1: Variazioni Discrete dei Tassi in Incrementi di 25 pb

$$\Delta \text{EFFR} \in \{..., -50, -25, 0, +25, +50, ...\} \text{ punti base}$$

Giustificazione: La Federal Reserve ha dimostrato una forte preferenza per le mosse da un quarto di punto dalla metà degli anni '90, rispecchiando il desiderio di gradualismo e prevedibilità nell'attuazione della politica monetaria.

Violazioni: L'assunzione viene meno nei periodi di crisi, quando la Fed effettua mosse più ampie (variazioni di 50 pb o 75 pb sono avvenute nel 2001-2002, nel 2008 e nel 2022-2023). La metodologia si adatta calcolando le probabilità per incrementi più ampi, ma la struttura ad albero binario non riesce a rappresentare distribuzioni genuinamente trimodali, in cui una significativa massa di probabilità è distribuita su tre esiti distinti.

Assunzione 2: Risposta Proporzionale dell'EFFR

$$\text{Se } \text{Obiettivo FOMC}_{t+1} = \text{Obiettivo FOMC}_t + \Delta r$$ $$\text{allora } \text{EFFR}_{t+1} = \text{EFFR}_t + \Delta r$$

Giustificazione: Nel framework attuale a riserve abbondanti, con l'Interest on Reserve Balances (IORB) come strumento principale, l'EFFR segue l'IORB (il punto mediano dell'intervallo obiettivo del FOMC) con uno spread minimo, tipicamente di 1-5 punti base.

Contesto Storico: Questa assunzione dipende dal regime vigente. Regge bene con le riserve abbondanti (2020-oggi), ma non avrebbe tenuto durante il sistema a corridoio pre-2008 o durante il regime a riserve scarse del 2017-2019.

Assunzione 3: Limite Inferiore Zero (ZLB)

$$\text{EFFR}_t \geq 0 \quad \forall t$$

Giustificazione: Nel contesto istituzionale statunitense, i tassi di interesse nominali negativi incontrano ostacoli giuridici e operativi. La Federal Reserve ha costantemente dichiarato di non considerare i tassi negativi uno strumento di politica monetaria praticabile.

Nota Internazionale: Questa assunzione non è universalmente valida — la BCE, la Banca del Giappone, la Banca Nazionale Svizzera e altri hanno implementato tassi di policy negativi. Le applicazioni di metodologie di tipo CME a tali giurisdizioni richiedono modifiche.

Assunzione 4: Struttura di Ramificazione Binaria

$$\text{Ad ogni riunione FOMC: } |\{\text{esiti possibili}\}| = 2$$

Giustificazione: La struttura binaria semplifica notevolmente il calcolo. Ad ogni nodo, il mercato può assegnare probabilità $p$ a un esito e $(1-p)$ all'altro, ricavabili dalla parte frazionaria della variazione attesa del tasso.

Limitazioni: Questa è la semplificazione più significativa della metodologia. Nei periodi di genuina incertezza (ad esempio, all'inizio del 2023, quando i mercati dibattevano tra mantenimento/rialzo/taglio), limitare la scelta a due esiti distorce la distribuzione di probabilità. Lo strumento non riesce a rappresentare nativamente scenari in cui $P(\text{esito } A) = 0,4$, $P(\text{esito } B) = 0,35$ e $P(\text{esito } C) = 0,25$.

Assunzione 5: Nessun Intervento Straordinario tra Riunioni

$$\Delta \text{Obiettivo FOMC}_t = 0 \quad \text{se } t \notin \{\text{date FOMC programmate}\}$$

Giustificazione: Gli interventi tra riunioni sono storicamente rari, verificandosi solo in circostanze estreme (11 settembre, crisi finanziaria del 2008, crisi COVID del marzo 2020). La loro rarità giustifica la loro esclusione dai calcoli di probabilità di base.

Modalità di Fallimento: Durante crisi acute in cui un intervento straordinario diventa possibile, i mercati dei futures possono prezzare probabilità che la metodologia non riesce a scomporre correttamente, producendo stime di probabilità incoerenti.

Assunzione 6: Continuità ai Confini dei Mesi

$$\text{EFFR(Fine)}_t = \text{EFFR(Inizio)}_{t+1}$$

Giustificazione: I tassi non variano in modo discontinuo nelle transizioni tra i mesi. Questa condizione di continuità consente alla metodologia di propagare le informazioni sui tassi in avanti e indietro attraverso i mesi "àncora" non FOMC.

Ruolo Tecnico: Questa assunzione è fondamentale per le regole di propagazione dell'algoritmo e fornisce le equazioni di vincolo necessarie per risolvere i tassi iniziali e finali all'interno dei mesi FOMC.

Assunzione 7: Misura di Probabilità Neutrale al Rischio

$$\text{Prezzo Futures}_t = E^{\mathbb{Q}}_t[\text{Tasso Spot}_{t+h}]$$ $$\text{dove le probabilità sono sotto la misura neutrale al rischio } \mathbb{Q}$$

Giustificazione: La teoria standard di pricing dei derivati stabilisce che i prezzi dei futures riflettono le aspettative neutrali al rischio. Questa assunzione consente di estrarre direttamente le probabilità dai livelli di prezzo.

Avvertenza Critica: Un'ampia letteratura empirica (Piazzesi & Swanson 2008; Hamilton & Okimoto 2011) documenta che i futures sui Federal Funds contengono significativi premi al rischio positivi, mediamente pari a 35-61 punti base all'anno, anticiclici e prevedibili. La metodologia estrae probabilità neutrali al rischio, non probabilità fisiche. Per le previsioni di politica monetaria (a differenza della misurazione delle percezioni di mercato), la correzione per il premio al rischio diventa essenziale.

Implicazioni Metodologiche

Queste sette assunzioni definiscono collettivamente il dominio di applicabilità della metodologia CME:

Prestazioni Ottimali: Contesti di politica ordinaria con riunioni programmate, mosse da un quarto di punto e bassa incertezza (condizioni tipiche della Grande Moderazione)
Prestazioni Ridotte: Periodi di crisi, transizioni di regime di politica monetaria, o situazioni con probabilità genuinamente distribuite su più esiti
Modalità di Fallimento: Interventi straordinari tra riunioni, contesti di tassi negativi (senza modifiche), o mosse ampie (≥75 pb) non previste nella struttura binaria

Il Framework di Calcolo

Vediamo ora esattamente come il metodo CME calcola le probabilità. Lo analizzeremo in semplici passaggi.

Il Quadro Generale: Cosa Stiamo Cercando di Trovare?

Vogliamo sapere: Qual è la probabilità che la Fed aumenti, riduca o mantenga invariati i tassi alla prossima riunione?

Per scoprirlo, utilizziamo:

Il tasso attuale della Fed
I prezzi dei futures per i mesi con riunioni della Fed
Le date delle riunioni della Fed
Un po' di matematica per mettere tutto insieme!

Intuizione Chiave: I Mesi Àncora

Cos'è un "Mese Àncora"?

Un mese àncora è un mese in cui NON si tiene alcuna riunione della Fed. Sono molto utili perché sono semplici: il tasso non cambia per tutto il mese! Il prezzo dei futures ci dice direttamente qual è il tasso.

Esempio: Se ottobre non ha riunioni della Fed e il prezzo dei futures di ottobre è 96,94, allora sappiamo che il tasso medio di ottobre sarà 100 - 96,94 = 3,06%.

I Sette Passaggi

Passaggio 1: Identificare i Mesi Àncora

Esaminare il calendario delle riunioni della Fed. Trovare i mesi senza riunioni. Questi forniscono punti fissi di riferimento.

Esempio: Se la Fed si riunisce a settembre, novembre e dicembre, allora ottobre è un mese àncora.

Passaggio 2: Calcolare i Tassi Iniziali

Per i mesi con riunioni della Fed, determinare qual è il tasso all'inizio del mese (prima della riunione).

Utilizziamo il mese àncora come ausilio. Poiché il tasso alla fine di settembre è uguale al tasso all'inizio di ottobre (questa è l'assunzione di continuità), possiamo ricavarlo a ritroso.

Passaggio 3: Calcolare i Tassi Finali

Il prezzo dei futures ci dice il tasso medio per l'intero mese. Poiché conosciamo il tasso iniziale e il numero di giorni prima e dopo la riunione, possiamo calcolare qual deve essere il tasso finale.

Formula: Tasso Finale = (Tasso Medio × Giorni nel Mese − Tasso Iniziale × Giorni Prima della Riunione) ÷ Giorni Dopo la Riunione

Passaggio 4: Calcolare la Variazione Attesa

Semplice sottrazione: Variazione Attesa = Tasso Finale − Tasso Iniziale

Questo ci dice di quanto il mercato si aspetta che la Fed sposti i tassi.

Passaggio 5: Convertire in Unità da 25 pb

Dividere la variazione attesa per 0,25 (poiché la Fed si muove in incrementi da 25 pb).

Esempio: Se la variazione attesa è 0,725%, allora 0,725 ÷ 0,25 = 2,9

Passaggio 6: Estrarre le Probabilità

Dividere quel numero in due parti:

Caratteristica: Il numero intero (nel nostro esempio: 2)
Mantissa: La parte decimale (nel nostro esempio: 0,9)

Quindi:

Probabilità di (caratteristica × 25 pb) = 1 − mantissa = 1 − 0,9 = 0,1 ovvero 10%
Probabilità di ((caratteristica + 1) × 25 pb) = mantissa = 0,9 ovvero 90%

In questo caso: 10% di probabilità di un rialzo da 50 pb, 90% di probabilità di un rialzo da 75 pb

Passaggio 7: Espandere alla Riunione Successiva

Ripetere l'intero processo per la prossima riunione della Fed, utilizzando il tasso finale di questa riunione come nuovo punto di partenza.

Derivazione Matematica Formale

La metodologia CME procede attraverso sette passaggi sistematici per estrarre le probabilità dai prezzi dei futures. Formalizziamo matematicamente ciascun passaggio.

Passaggio 1: Identificazione dei Mesi Àncora

Si definisce l'insieme delle date di riunione del FOMC:

$$\mathcal{M} = \{m_1, m_2, ..., m_8\} \subset \text{Anno}$$

Un mese $t$ è un mese àncora se:

$$t \notin \{month(m_i) : m_i \in \mathcal{M}\}$$

Per i mesi àncora, la relazione è diretta:

$$\text{EFFR(Media)}_t = 100 - \text{Prezzo Futures}_t$$

Passaggio 2: Applicazione del Vincolo di Continuità

L'assunzione di continuità stabilisce:

$$\text{EFFR(Fine)}_{t-1} = \text{EFFR(Inizio)}_{t+1}$$

Ciò fornisce le condizioni al contorno per risolvere il sistema. Se il mese $t$ è un mese àncora e il mese $t+1$ contiene una riunione FOMC:

$$\text{EFFR(Inizio)}_{t+1} = \text{EFFR(Media)}_t = 100 - \text{Prezzo Futures}_t$$

Passaggio 3: Scomposizione del Tasso All'interno del Mese

Per il mese $t$ contenente una riunione FOMC il giorno $d$ (con $n$ giorni totali), il tasso di regolamento dei futures rappresenta la media ponderata per il volume:

$$\text{EFFR(Media)}_t = \frac{d-1}{n} \cdot \text{EFFR(Inizio)}_t + \frac{n-d+1}{n} \cdot \text{EFFR(Fine)}_t$$

Risolvendo per il tasso post-riunione:

$$\text{EFFR(Fine)}_t = \frac{n \cdot \text{EFFR(Media)}_t - (d-1) \cdot \text{EFFR(Inizio)}_t}{n-d+1}$$

Passaggio 4: Estrazione della Variazione Attesa del Tasso

$$\Delta r_t = \text{EFFR(Fine)}_t - \text{EFFR(Inizio)}_t$$

Passaggio 5: Normalizzazione in Unità da 25 pb

$$x_t = \frac{\Delta r_t}{25 \text{ pb}} = \frac{\Delta r_t}{0,25}$$

Passaggio 6: Scomposizione delle Probabilità

Si esprime $x_t$ come somma di parte intera e parte frazionaria:

$$x_t = \lfloor x_t \rfloor + \{x_t\}$$ $$\text{dove } \lfloor x_t \rfloor = \text{caratteristica (parte intera)}$$ $$\{x_t\} = \text{mantissa (parte frazionaria)}$$

Sotto l'assunzione di ramificazione binaria, le probabilità neutrali al rischio sono:

$$P(\Delta r = \lfloor x_t \rfloor \times 25 \text{ pb}) = 1 - \{x_t\}$$ $$P(\Delta r = (\lfloor x_t \rfloor + 1) \times 25 \text{ pb}) = \{x_t\}$$

Passaggio 7: Espansione dell'Albero per Ricorsione

Per la riunione $i+1$ successiva alla riunione $i$, si applica la procedura in modo ricorsivo utilizzando:

$$\text{EFFR(Inizio)}_{i+1} = \text{EFFR(Fine)}_i$$

Le probabilità cumulative dei percorsi si moltiplicano lungo i rami:

$$P(\text{percorso attraverso i nodi } \{j_1, j_2, ..., j_k\}) = \prod_{i=1}^{k} P(\text{ramo al nodo } j_i)$$

Regole di Propagazione Asimmetrica

La metodologia impiega una propagazione asimmetrica per minimizzare le discontinuità:

All'indietro: $\text{EFFR(Media)}_t$ popola $\text{EFFR(Fine)}_{t-1}$ indefinitamente finché non si raggiunge un altro mese àncora
In avanti: $\text{EFFR(Media)}_t$ popola $\text{EFFR(Inizio)}_{t+1}$ solo per un mese, per evitare l'accumulo degli errori

Questo schema riflette il fatto che la propagazione all'indietro utilizza vincoli già realizzati, mentre la propagazione in avanti amplificherebbe l'incertezza previsionale.

Esempio Pratico: Riunione FOMC del Settembre 2022

Vediamo un esempio reale per comprendere esattamente come funziona questo metodo. Utilizzeremo la riunione della Fed del 21 settembre 2022 — un caso affascinante perché la Fed stava aumentando i tassi in modo aggressivo per combattere l'inflazione.

Il Contesto

Cosa Sappiamo (al 21 settembre 2022)

Settembre ha una riunione della Fed il 21 settembre
Ottobre NON ha riunioni della Fed (è un mese àncora!)
Novembre ha una riunione della Fed

Prezzi dei Futures:

Contratto settembre (ZQU2): 97,4475
Contratto ottobre (ZQV2): 96,9400

Calcolo Passo dopo Passo

Passaggio 1: Iniziare da Ottobre (Mese Àncora)

Ottobre non ha riunioni della Fed, quindi è semplice:

Tasso medio di ottobre = 100 − 96,9400 = 3,0600%

Questo tasso rimane invariato per tutto il mese, quindi:

EFFR alla fine di settembre = 3,0600%
EFFR all'inizio di novembre = 3,0600%

Passaggio 2: Calcolare il Tasso Iniziale di Settembre

Settembre ha 30 giorni. La riunione della Fed è il 21 settembre.

Giorni prima della riunione: 21 − 1 = 20 giorni (dal giorno 1 al giorno 20)
Giorni dopo la riunione: 30 − 21 + 1 = 10 giorni (dal giorno 21 al giorno 30)

Il prezzo dei futures di settembre ci fornisce la media: 100 − 97,4475 = 2,5525%

Ora risolviamo per il tasso iniziale. Sappiamo che:

Tasso medio = 2,5525%
Tasso finale = 3,0600% (dal nostro mese àncora)

Formula: Media = (Giorni Prima × Tasso Iniziale + Giorni Dopo × Tasso Finale) ÷ Giorni Totali

Riordinando:
Tasso Iniziale = (Media × Giorni Totali − Giorni Dopo × Tasso Finale) ÷ Giorni Prima
Tasso Iniziale = (2,5525 × 30 − 10 × 3,0600) ÷ 20
Tasso Iniziale = (76,575 − 30,600) ÷ 20
Tasso Iniziale = 45,975 ÷ 20 = 2,2988%

(Nota: il CME ha ottenuto 2,3350% utilizzando convenzioni di calcolo dei giorni leggermente diverse. Il principio è il medesimo!)

Passaggio 3: Calcolare la Variazione Attesa

Variazione Attesa = Tasso Finale − Tasso Iniziale

Variazione Attesa = 3,0600 − 2,3350 = 0,7250% ovvero 72,5 punti base

Passaggio 4: Convertire in Unità da 25 pb

72,5 ÷ 25 = 2,9

Si divide in:

Caratteristica (numero intero): 2
Mantissa (decimale): 0,9

Passaggio 5: Estrarre le Probabilità

Probabilità di (2 × 25 pb = rialzo da 50 pb) = 1 − 0,9 = 0,10 ovvero 10%

Probabilità di (3 × 25 pb = rialzo da 75 pb) = 0,9 = 0,90 ovvero 90%

Risultato Finale

Probabilità implicite di mercato per la riunione FOMC del 21 settembre 2022:

10% di probabilità di un rialzo di 50 punti base
90% di probabilità di un rialzo di 75 punti base

Cosa è successo in realtà: La Fed ha alzato i tassi di 75 punti base! Il mercato aveva ragione.

Esempio Pratico Completo: Decisione FOMC del 21 Settembre 2022

Questo esempio illustra la metodologia CME utilizzando dati di mercato reali del settembre 2022, durante il ciclo aggressivo di rialzi della Federal Reserve per combattere l'inflazione.

Contesto di Mercato

Data dell'Analisi: 21 settembre 2022

Calendario delle Riunioni FOMC:

21 settembre 2022 (giorno 21 del mese)
Ottobre 2022: nessuna riunione (mese àncora)
2 novembre 2022

Prezzi dei Contratti Futures:

ZQU2 (settembre 2022): 97,4475
ZQV2 (ottobre 2022): 96,9400
ZQX2 (novembre 2022): 96,4625

Calcolo: Riunione FOMC di Settembre 2022

Fase 1: Definire i Vincoli del Mese Àncora

Ottobre 2022 non contiene riunioni FOMC, pertanto si configura come mese àncora:

$$\text{EFFR(Media)}_{\text{Ott}} = 100 - 96{,}9400 = 3{,}0600\%$$

Per continuità:

$$\text{EFFR(Fine)}_{\text{Sett}} = \text{EFFR(Inizio)}_{\text{Nov}} = 3{,}0600\%$$

Fase 2: Scomposizione di Settembre All'interno del Mese

Parametri della riunione:

$d = 21$ (giorno della riunione)
$n = 30$ (giorni in settembre)
$N = d - 1 = 20$ (giorni prima della riunione)
$M = n - d + 1 = 10$ (giorni incluso e successivi alla riunione)

Tasso medio implicito:

$$\text{EFFR(Media)}_{\text{Sett}} = 100 - 97{,}4475 = 2{,}5525\%$$

Si risolve per il tasso iniziale mediante la formula mensile:

$$\text{EFFR(Inizio)}_{\text{Sett}} = \frac{n \cdot \text{EFFR(Media)}_{\text{Sett}} - M \cdot \text{EFFR(Fine)}_{\text{Sett}}}{N}$$ $$= \frac{30 \times 2{,}5525 - 10 \times 3{,}0600}{20}$$ $$= \frac{76{,}575 - 30{,}600}{20} = \frac{45{,}975}{20} = 2{,}2988\%$$

Nota: il calcolo pubblicato dal CME fornisce 2,3350% a causa di diverse convenzioni di calcolo dei giorni. Il principio metodologico è identico.

Fase 3: Calcolo della Variazione del Tasso

$$\Delta r_{\text{Sett}} = \text{EFFR(Fine)}_{\text{Sett}} - \text{EFFR(Inizio)}_{\text{Sett}}$$ $$= 3{,}0600 - 2{,}3350 = 0{,}7250\% = 72{,}5 \text{ punti base}$$

Fase 4: Estrazione delle Probabilità

Conversione in unità da 25 pb:

$$x = \frac{72{,}5}{25} = 2{,}9$$

Scomposizione in caratteristica e mantissa:

$$\lfloor x \rfloor = 2 \quad (\text{caratteristica})$$ $$\{x\} = 0{,}9 \quad (\text{mantissa})$$

Estrazione delle probabilità binarie:

$$P(\Delta r = 50\text{pb}) = 1 - 0{,}9 = 0{,}10 = 10\%$$ $$P(\Delta r = 75\text{pb}) = 0{,}9 = 90\%$$

Estensione: Riunione di Novembre 2022

L'albero si espande in avanti ripetendo la procedura:

Punto di partenza: $\text{EFFR(Inizio)}_{\text{Nov}} = 3{,}0600\%$

Seguendo passaggi identici (i dettagli sono omessi per brevità), la metodologia CME ha prodotto:

$$P(\Delta r_{\text{Nov}} = 50\text{pb}) = 81{,}0\%$$ $$P(\Delta r_{\text{Nov}} = 75\text{pb}) = 19{,}0\%$$

Probabilità Cumulative dei Percorsi

L'albero espanso genera quattro possibili esiti cumulativi entro novembre:

Percorso	Mossa Sett.	Mossa Nov.	Cumulativo	Probabilità
1	+50 pb	+50 pb	+100 pb	0,10 × 0,81 = 8,1%
2	+50 pb	+75 pb	+125 pb	0,10 × 0,19 = 1,9%
3	+75 pb	+50 pb	+125 pb	0,90 × 0,81 = 72,9%
4	+75 pb	+75 pb	+150 pb	0,90 × 0,19 = 17,1%

Aggregando per variazione cumulativa:

$$P(\text{Totale } +100\text{pb}) = 8{,}1\%$$ $$P(\text{Totale } +125\text{pb}) = 1{,}9 + 72{,}9 = 74{,}8\%$$ $$P(\text{Totale } +150\text{pb}) = 17{,}1\%$$

Esiti Effettivi e Validazione

21 settembre 2022: Il FOMC ha alzato i tassi di 75 pb (probabilità: 90%) ✓

2 novembre 2022: Il FOMC ha alzato i tassi di 75 pb (probabilità condizionale: 19% | Sett.=75 pb)

La metodologia ha identificato correttamente l'esito più probabile per settembre, ma ha sottostimato la probabilità di due rialzi consecutivi da 75 pb, illustrando come le probabilità neutrali al rischio ricavate dai futures possano non corrispondere perfettamente alle frequenze realizzate.

Come l'Albero si Espande su Più Riunioni

Una delle caratteristiche più potenti del metodo CME è che non si limita a prevedere una sola riunione, ma è in grado di prevedere un'intera sequenza di riunioni!

Visualizzazione dell'Albero Espanso

                Oggi (Tasso: 4,00%)
                     |
                [Riunione 1]
                /          \
          +25 pb (70%)    Invariato (30%)
          /                  \
    Tasso: 4,25%            Tasso: 4,00%
        |                      |
   [Riunione 2]            [Riunione 2]
    /        \             /        \
+25 pb (40%) Inv. (60%)  +25 pb (50%) Inv. (50%)
  /            \          /            \
  4,50%          4,25%     4,25%          4,00%

Probabilità finali:
- Fine a 4,50%: 70% × 40% = 28%
- Fine a 4,25%: (70% × 60%) + (30% × 50%) = 42% + 15% = 57%
- Fine a 4,00%: 30% × 50% = 15%

Come si vede, l'albero "si espande": ogni riunione raddoppia il numero di percorsi possibili!

Perché Diventa Rapidamente Complesso

Ad ogni ulteriore riunione della Fed, le possibilità si moltiplicano:

Dopo 1 riunione: 2 possibili livelli di tasso
Dopo 2 riunioni: 3 possibili livelli (ma 4 percorsi per arrivarci)
Dopo 3 riunioni: 4 possibili livelli (ma 8 percorsi!)
Dopo 8 riunioni: 9 possibili livelli (ma 256 percorsi!!)

È per questo che i computer sono indispensabili: la matematica diventa molto complessa molto rapidamente.

Come il CME Gestisce Questo

Lo strumento CME procede riunione per riunione, utilizzando il tasso finale di una riunione come tasso iniziale per la successiva. Tiene traccia di tutti i percorsi e delle relative probabilità, mostrando poi:

Probabilità per singola riunione — Cosa accadrà alla prossima riunione?
Probabilità cumulative — A quale livello si troveranno i tassi dopo più riunioni?
Percorsi dei tassi — Quali sono le sequenze di mosse più probabili?

Algoritmo Formale di Espansione dell'Albero

La struttura ad albero binario espanso fornisce un framework sistematico per tenere traccia delle distribuzioni di probabilità nell'arco di più decisioni di politica monetaria sequenziali.

Struttura Ricorsiva

Si definisce lo spazio degli stati alla riunione $t$:

$$\mathcal{S}_t = \{r_{t,1}, r_{t,2}, ..., r_{t,k_t}\}$$ dove $k_t$ = numero di livelli di tasso distinti raggiungibili entro la riunione $t$

Per ogni stato $r_{t,i} \in \mathcal{S}_t$ con probabilità $P_t(r_{t,i})$, la ramificazione binaria genera due possibili successori:

$$r_{t+1,j} \in \{r_{t,i}, r_{t,i} + 25\text{pb}\} \quad \text{(regime di rialzo)}$$ $$\text{oppure}$$ $$r_{t+1,j} \in \{r_{t,i}, r_{t,i} - 25\text{pb}\} \quad \text{(regime di taglio)}$$

Propagazione delle Probabilità

Si indichi con $p_{t,i}^{\uparrow}$ la probabilità di movimento al rialzo dallo stato $r_{t,i}$. Le probabilità degli stati a $t+1$ si aggregano da più percorsi:

$$P_{t+1}(r) = \sum_{r_{t,i}: r \in \text{successori}(r_{t,i})} P_t(r_{t,i}) \cdot p_{t,i}(r_{t,i} \to r)$$

dove la probabilità di transizione $p_{t,i}(r_{t,i} \to r)$ è uguale a $p_{t,i}^{\uparrow}$ o $(1 - p_{t,i}^{\uparrow})$ a seconda del ramo.

Crescita Combinatoria

La struttura ad albero presenta una crescita combinatoria controllata:

$$|\mathcal{S}_t| = t + 1 \quad \text{(numero di livelli di tasso distinti)}$$ $$\text{Numero di percorsi} = 2^t \quad \text{(crescita combinatoria)}$$

Tuttavia, molti percorsi convergono verso lo stesso livello di tasso terminale, riducendo la complessità dell'aggregazione delle probabilità rispetto al tracciamento individuale di tutti i percorsi.

Rappresentazione Matriciale

L'espansione dell'albero può essere rappresentata come un sistema di transizione tra stati. Si definisce il vettore delle probabilità:

$$\mathbf{p}_t = [P_t(r_{t,1}), P_t(r_{t,2}), ..., P_t(r_{t,k_t})]^T$$

E la matrice di transizione $\mathbf{T}_t$, dove la voce $T_{ij}$ fornisce la probabilità di transizione dallo stato $i$ alla riunione $t$ allo stato $j$ alla riunione $t+1$:

$$\mathbf{p}_{t+1} = \mathbf{T}_t \mathbf{p}_t$$

Questa formulazione matriciale consente un calcolo efficiente delle probabilità prospettiche e facilita l'analisi di sensitività.

Aggregazione dei Percorsi Convergenti

Più percorsi possono portare alla stessa variazione cumulativa del tasso. Ad esempio, dopo due riunioni, una variazione cumulativa di +50 pb può derivare da:

Percorso 1: +25 pb poi +25 pb
Percorso 2: +50 pb poi 0 pb
Percorso 3: 0 pb poi +50 pb

La probabilità di trovarsi al tasso obiettivo si aggrega su tutti i percorsi contribuenti:

$$P_T(r_{\text{obiettivo}}) = \sum_{\text{tutti i percorsi } \pi \text{ verso } r_{\text{obiettivo}}} \prod_{t \in \pi} p_t(\text{ramo percorso in } t)$$

Complessità Computazionale

L'enumerazione ingenua dei percorsi richiede $O(2^T)$ operazioni per $T$ riunioni. Tuttavia, la programmazione dinamica riduce questa complessità a $O(T^2)$ aggregando le probabilità ad ogni stato anziché tracciare i singoli percorsi:

\begin{align} \text{Inizializzazione: } & P_0(r_0) = 1 \\ \text{Per } t = 1 \text{ fino a } T: & \\ & \text{Per ogni } r \in \mathcal{S}_t: \\ & \quad P_t(r) = \sum_{r' \in \text{predecessori}(r)} P_{t-1}(r') \cdot p_{t-1}(r' \to r) \end{align}

Questa efficienza algoritmica consente il calcolo in tempo reale anche per orizzonti di 8 o più riunioni.

Casi Limite e Condizioni al Contorno

Limite Inferiore Zero: Quando il tasso si avvicina a zero, i rami al rialzo continuano normalmente, ma quelli al ribasso sono vincolati:

$$\text{Se } r_{t,i} < 25\text{pb, i soli successori sono } \{0, r_{t,i} + 25\text{pb}\}$$

Inversioni di Direzione: L'assunzione binaria esclude implicitamente le inversioni immediate (rialzo seguito da taglio o viceversa) nel breve termine. Ciò riflette un comportamento di smorzamento, ma potrebbe sottostimare i rischi di coda in periodi di forte incertezza di policy.

Incrementi Non Standard: Quando i futures implicano mosse superiori a 25 pb (caratteristica ≥ 1), la struttura ad albero li accoglie trattando le mosse più ampie come rami singoli anziché scomporle in più passi da 25 pb.

Limitazioni Note e Quando il Metodo Fallisce

Nessun metodo previsionale è perfetto, e il metodo dell'albero espanso CME presenta alcune limitazioni note. Comprenderle aiuta a sapere quando fidarsi delle probabilità e quando essere scettici.

Quando Funziona Ottimamente

In condizioni normali: Quando l'economia è stabile e la Fed effettua aggiustamenti graduali
Previsioni a breve termine: Le prossime 1-2 riunioni (entro 3-6 mesi)
Mosse standard da 25 pb: Quando la Fed si muove nei tradizionali incrementi di un quarto di punto
Consenso di mercato chiaro: Quando gli operatori sono sostanzialmente concordi su ciò che accadrà

Quando Incontra Difficoltà

Problema 1: Mosse Ampie o di Emergenza

Il metodo presuppone mosse da 25 pb. Quando la Fed interviene con 50 pb, 75 pb o tagli di emergenza, la struttura ad albero binario deve adattarsi. Può farlo, ma con minore eleganza.

Esempio: I tagli di emergenza tra riunioni del marzo 2020 per il COVID

Problema 2: Genuina Incertezza a Tre Vie

L'albero binario afferma che ad ogni riunione ci sono solo due opzioni realistiche. Ma cosa succede se i mercati sono divisi in tre direzioni?

Esempio: All'inizio del 2023, quando i mercati dibattevano tra: taglio da 25 pb (30%), mantenimento (40%), rialzo da 25 pb (30%)

Il metodo costringerebbe a inserire queste probabilità in due categorie, distorcendo la vera distribuzione di probabilità.

Problema 3: Distorsione del Premio al Rischio

Si ricordi l'Assunzione 7? I prezzi dei futures includono un "premio al rischio" — gli operatori pagano un po' di più come assicurazione. Ciò significa che i prezzi dei futures non sono previsioni pure, ma leggermente distorte.

La ricerca mostra che questa distorsione ammonta a circa 35-60 punti base all'anno e si amplifica durante le recessioni.

Problema 4: Inaffidabilità a Lungo Termine

Più ci si allontana nel tempo, meno affidabile diventa il metodo:

1-3 mesi in avanti: Molto affidabile
3-6 mesi in avanti: Abbastanza buono
6-12 mesi in avanti: Discutibile
Oltre 12 mesi: Spesso errato!

Ciò è dovuto alla minore liquidità dei mercati dei futures sulle scadenze più lontane e al fatto che le condizioni economiche possono cambiare drasticamente.

Conclusione

Il metodo dell'albero espanso CME è uno strumento eccellente per comprendere le aspettative di mercato a breve termine in condizioni normali. Tuttavia, durante le crisi, i cambi di regime o per previsioni a lungo termine, dovrebbe essere integrato con altri metodi quali sondaggi, modelli economici o valutazioni degli esperti.

Analisi Sistematica delle Limitazioni Metodologiche

Sebbene la metodologia dell'albero espanso CME rappresenti lo standard di settore per estrarre le aspettative di politica dai futures, essa incorpora alcune limitazioni strutturali che ne circoscrivono il dominio di applicabilità.

Limitazione 1: Vincolo di Ramificazione Binaria

La restrizione fondamentale a due esiti per nodo di riunione genera distorsioni sistematiche quando la massa di probabilità reale è distribuita su tre o più scenari.

Manifestazione Matematica: Si consideri una situazione in cui le probabilità fisiche sono:

$$P^{\mathbb{P}}(-25\text{pb}) = 0{,}30, \quad P^{\mathbb{P}}(0\text{pb}) = 0{,}40, \quad P^{\mathbb{P}}(+25\text{pb}) = 0{,}30$$

Il framework binario deve forzare questo risultato in due categorie, producendo:

$$P^{\mathbb{Q}}(\text{esito}_1) = 1 - m, \quad P^{\mathbb{Q}}(\text{esito}_2) = m$$

dove $m$ è la mantissa. Ciò rappresenta necessariamente in modo errato la vera distribuzione, con un'entità della distorsione proporzionale alla massa di probabilità sul terzo esito escluso.

Conseguenze:

Sottostima del rischio di coda quando le probabilità sono genuinamente distribuite
Concentrazione artificiale della massa di probabilità sugli esiti modali
Incapacità di rappresentare l'incertezza simmetrica (probabilità uguali su tre stati)

Limitazione 2: Contaminazione del Premio al Rischio

La metodologia estrae probabilità neutrali al rischio ($\mathbb{Q}$), ma le previsioni di politica monetaria richiedono probabilità fisiche ($\mathbb{P}$). La distanza tra queste misure deriva dai premi al rischio:

$$\text{Prezzo Futures}_t = E^{\mathbb{Q}}_t[\text{Tasso Spot}] = E^{\mathbb{P}}_t[\text{Tasso Spot}] + \text{Premio al Rischio}_t$$

Entità Empiriche (Piazzesi & Swanson 2008):

Premio al rischio medio: 35-61 punti base all'anno
Componente variabile nel tempo: anticiclica (più alta durante le recessioni)
Prevedibilità: correlata con la crescita occupazionale, i differenziali di rendimento e gli spread creditizi

La mancata correzione per i premi al rischio distorce sistematicamente le probabilità:

$$P^{\mathbb{Q}}(\text{rialzo}) > P^{\mathbb{P}}(\text{rialzo}) \text{ nelle fasi espansive}$$ $$P^{\mathbb{Q}}(\text{taglio}) < P^{\mathbb{P}}(\text{taglio}) \text{ nelle recessioni}$$

Limitazione 3: Violazioni dell'Assunzione di Mosse Discrete

L'assunzione dell'incremento da 25 pb, sebbene storicamente giustificata, viene meno nei periodi di crisi che richiedono un intervento di politica aggressivo:

Episodio	Mosse Non Standard	Impatto Metodologico
Recessione 2001-2002	Più tagli da 50 pb	L'albero binario si adatta ma perde eleganza
Crisi Finanziaria 2008	Taglio da 100 pb (ott.), mosse straordinarie	Assunzione 5 violata; probabilità instabili
Crisi COVID 2020	Taglio di emergenza da 150 pb (marzo)	Estremo non standard; le previsioni sui futures collassano
Lotta all'Inflazione 2022-2023	Quattro rialzi consecutivi da 75 pb	L'albero si adatta ma sottostima le mosse ampie consecutive

Limitazione 4: Affidabilità Dipendente dall'Orizzonte

Le prestazioni previsive si deteriorano sistematicamente all'aumentare dell'orizzonte:

$$\text{Accuratezza Previsionale}(h) = \alpha - \beta \cdot h + \epsilon$$ $$\text{dove } h = \text{orizzonte in mesi}$$

Fattori del Deterioramento con l'Orizzonte:

Calo di Liquidità: Gli spread denaro-lettera si ampliano per i contratti a scadenza più lontana, riducendo l'efficienza informativa
Incertezza Macroeconomica: La varianza previsionale condizionale cresce con l'orizzonte all'aumentare degli shock realizzati
Rischio di Regime di Policy: Gli orizzonti più lunghi aumentano la probabilità di rotture strutturali nella funzione di reazione della politica monetaria
Conflazione del Premio a Termine: I contratti a più lunga scadenza incorporano sia aspettative che premi a termine in proporzioni complesse e variabili nel tempo

Prestazioni Comparative per Orizzonte (Gürkaynak et al. 2007):

1-3 mesi: I futures sui Federal Funds sono ottimali, superano sondaggi e modelli
3-6 mesi: I futures sono competitivi con il Survey of Primary Dealers
6-12 mesi: I sondaggi generalmente superano i futures; i modelli forniscono informazioni complementari
Oltre 12 mesi: Si preferiscono sondaggi e modelli strutturali; i futures sono inaffidabili

Limitazione 5: Assenza di Bias dello Status Quo o di Apprendimento

La metodologia CME di base tratta tutte le variazioni dei tassi in modo simmetrico e indipendente. Non modella:

Gradualismo delle banche centrali: Preferenza empiricamente documentata per la continuità di policy (Rudebusch 2002)
Dipendenza dal percorso: Correlazione sequenziale nelle decisioni di policy (probabilità di un secondo rialzo dato il primo)
Effetti della comunicazione: Impatto del forward guidance nel modificare le probabilità delle decisioni
Dipendenza dai dati: Aggiornamenti delle probabilità condizionali basati sugli indicatori economici realizzati

Queste caratteristiche comportamentali e istituzionali possono essere incorporate attraverso framework avanzati (come discusso nella nostra metodologia), ma sono assenti dall'implementazione CME di base.

Implicazioni Pratiche per gli Utenti

Migliori Pratiche Raccomandate:

Utilizzo Appropriato all'Orizzonte: Affidarsi alle probabilità CME per previsioni a 1-3 mesi; combinarle con i sondaggi per orizzonti più lunghi
Consapevolezza del Regime: Esercitare cautela durante le crisi, le transizioni di policy o quando gli interventi straordinari diventano probabili
Validazione Incrociata: Confrontare le probabilità implicite nei futures con misure basate sugli OIS, sondaggi e previsioni degli economisti
Correzione per il Premio al Rischio: Per le previsioni di policy (rispetto alla misurazione delle percezioni di mercato), correggere per i premi al rischio documentati utilizzando modelli basati sull'occupazione e sugli spread
Quantificazione dell'Incertezza: Riportare intervalli di probabilità anziché stime puntuali; riconoscere i limiti del modello

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